La mesure par triangulation

À la veille de la Révolution française, on compte en France des centaines d’unités de longueur différentes, souvent tirées du corps humain : le pied, la coudée, la toise… Elles changent d’une ville à l’autre, ce qui complique le commerce comme le travail des savants. L’Assemblée constituante décide alors de créer une unité unique : le mètre.

Pour que cette unité puisse être adoptée par tous les peuples, il faut la rattacher à un objet commun à toute l’humanité : ce sera la Terre elle-même. Sur proposition de l’Académie des sciences, l’Assemblée adopte le 26 mars 1791 la définition suivante.

Une unité tirée de la nature, invariable et qui n’appartient à aucune nation : encore faut-il mesurer ce méridien. On choisit l’arc du méridien de Paris qui relie Dunkerque à Barcelone.

Ces deux astronomes reconnus sont chargés de la mission. Leur plan : mesurer la longueur D de l’arc de méridien entre Dunkerque et Barcelone, puis en déduire la longueur M du quart de méridien.

Les deux villes sont situées sur le même méridien. Par des observations astronomiques, on connaît leurs latitudes (environ 51° N pour Dunkerque, 41° N pour Barcelone) : leur différence donne l’angle au centre α qui intercepte l’arc D. Le quart de méridien correspond, lui, à un angle de 90°. Longueur d’arc et angle au centre étant proportionnels :

Mesurer directement au sol plus de 1 000 km entre Dunkerque et Barcelone est impossible avec précision : il faudrait franchir des rivières, des forêts, des montagnes, et tenir compte des dénivelés.

Delambre et Méchain utilisent donc la triangulation plane. Cette méthode géométrique ne demande de mesurer précisément qu’une seule distance : toutes les autres se calculent à partir des angles des triangles et de la loi des sinus.

Pour mesurer ces angles, ils effectuent des visées avec un cercle répétiteur, un instrument d’optique qui mesure l’angle entre deux points éloignés mais bien visibles : sommets de collines, clochers, tours.

En mathématiques, un triangle est entièrement connu dès que l’on connaît la longueur d’un côté et deux de ses angles.

Delambre et Méchain choisissent d’abord une base : la distance entre Lieusaint et Melun, deux localités proches de Paris, qu’ils mesurent au sol avec un très grand soin. Depuis les deux extrémités de cette base, ils visent un troisième point, Malvoisine, et mesurent les angles : ils en déduisent par le calcul la distance Lieusaint–Malvoisine. Ce côté devient à son tour la base d’un nouveau triangle, dont le sommet est Montlhéry, et ainsi de suite.

De proche en proche, ils construisent une chaîne ininterrompue d’une centaine de triangles qui encadre tout l’arc de méridien, de Dunkerque à Barcelone.